Théorèmes limites pour des processus de branchement et de coalescence spatiaux

Imaginons une population de souris, se déplaçant dans un espace à leur disposition et se reproduisant et mourant au bout d’un certain temps. On place dans cet espace des pièges, dans lesquels les souris qui passent sont capturées avec une certaine probabilité et on considère qu’une souris attrapée disparaît de la population. Pour finir, supposons que les pièges sont disposés de manière assez homogène dans l’espace. La question à laquelle on s’intéresse est la suivante : avec quelle efficacité capture-t-on les souris ?1 Plus formellement, considérons tout d’abord un nombre fini de particules (d’individus, de souris, ...) qui, indépendamment les unes des autres : – se déplacent dans Rd en suivant une trajectoire brownienne ; – « branchent » à taux 1, i.e., meurent au bout d’un temps distribué selon une loi exponentielle de paramètre 1 et laissent à leur emplacement un nombre aléatoireK (pouvant être égal à 0) de descendants qui évoluent ensuite indépendamment suivant le même mécanisme. La loi du nombre de descendants est la même pour toutes les particules et on supposera dans la suite que sa moyenne vaut 1 et sa variance, notée σ2, est finie. La figure 1 illustre le mécanisme d’évolution de la population. On représente l’état à l’instant t ≥ 0 de cette population par sa mesure empirique Zt, somme des masses de Dirac en la position au temps t de Malgré l’offense manifeste à l’intelligence des souris que cela constitue, on supposera que celles-ci ne voient pas les obstacles.